Офіційний веб сайт

Застосування нових операторно-функціональних підходів до побудови ефективних чисельних методів розв'язування сучасних задач природознавства

м72

Представлено Інститутом математики НАН України

Автор: Лисенко Л.О., к.ф.-м.н., Романюк Н.М., к.ф.-м.н.,  Ситник Д.О., к.ф.-м.н.

Метою роботи є побудова ефективних чисельних методів розв’язування важливих з прикладної точки зору математичних задач, що описуються диференціальними або операторними рівняннями.

Знайдено нові умови існування та представлення розв'язку нелокальної по часу задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку в Банаховому просторі з сильно-позитивним операторним коефіцієнтом та багатоточковою нелокальною умовою. Розроблено експоненціально збіжний чисельний метод без насичення точності для наближення розв'язку згаданої нелокальної задачі. Запропоновано загальну схему функціонально-дискретного (FD-) методу розв'язування абстрактних нелінійних функціональних рівнянь, в рамках якої побудовано суперекспоненціально збіжний метод для нелінійної крайової задачі на відрізку.

Розроблено, обґрунтовано та досліджено властивості  FD-методу для спектральних задач для оператора Шрьодінгера на скінченному інтервалі. Обґрунтовано нову абстрактну схему алгоритму FD-методу для наближеного знаходження власних пар лінійних операторів з дискретним спектром, що допускає наявність власних значень довільної кратності. Для запропонованих підходів отримано достатні умови суперекспоненцiальної швидкості збiжностi.

Встановлено теореми про побудову раціональних апроксимацій для степеневих рядів двох та більшої кількості змінних. Побудовано та досліджено апроксиманти типу Паде для широких класів спеціальних функцій двох та багатьох змінних, зокрема, для гіпергеометричних рядів Аппеля, Гумберта та Лаурічелли.  Отримані результати  відповідають світовому рівню.

Кількість публікацій: 45, в т.ч. за тематикою роботи монографія, 27 статей (9 – у зарубіжних виданнях), 17 тез доповідей. Загальна кількість посилань на публікації авторів складає 4 (згідно з базою даних SCOPUS), h-індекс = 1 та 32 (згідно з базою даних Google Scholar), h-індекс = 3.

Надіслати коментар

Коментарі

Nataliia Rossokhata, PhD, D.Sc.

The collection of works entitled “Application of new operator-functional approaches to development of effective numerical methods for solving modem problems in natural sciences” contains multiple important results along the following three directions: the analysis and solution of nonlocal-in-time problem for abstract first order differential equation; FD-method based solution techniques for boundary values problems and Sturm-Liouville problems for differential operators on a finite interval; constructive problems of Pade approximation theory. In each of the mentioned directions the authors have obtained new results that are interesting from both theoretical and practical points of view. Among those I would like to highlight some of particular significance:

- Development of a new technique to analyze the existence of solutions to a nonlocal-in-time Cauchy problem for the first order differential equation with operator coefficient in Banach space. The authors apply this technique to a class of Cauchy problems with linear nonlocal conditions. As result, they have derived the existence and uniqueness criteria for the solution.

- Conception of an exponentially convergent numerical method for the above-mentioned class of nonlocal problems. The method allows multilevel parallelization of computations.

- Creation of a general scheme of the functionally discrete method (FD) method for solving the abstract nonlinear functional equation. Within the framework of this scheme, authors develop a new super-exponentially convergent numerical method for the solution of nonlinear B VP on an interval.

- Application of the general scheme of FD method to several classes of Sturm-Liouville problems on a finite interval. The resulting numerical methods are capable of approximating eigenvalues with arbitrary multiplicity. In this collection of works, authors also develop a full featured convergence theory for a general case when the problem’s potential belongs to a negative Sobolev space.

Overall the above collection contains 27 scientific articles. Main results of the research contained in this collection are published in the peer-reviewed international journals. Taking into account all of the mentioned above, I recommend granting the prize of President of Ukraine 2017 to Lysenko L. O., Romaniuk N. M., Sytnyk D. O.

Nataliia Rossokhata, PhD, D.Sc.
Part-time professor, Department of Mathematics and Statistics
Concordia University
Montreal, Quebec, Canada

Dr. rer. nat. habil., Prof. Ivan P. Gavrilyuk

Dear Members of the Committee,

It is my pleasure to recommend Lilia Lysenko, Natalia Romaniuk and Dmytro Sytnyk to be awarded by the prize of President of Ukraine for their collection of works entitled “Application of new operator-functional approaches to development of effective numerical methods for solving modern problems in natural sciences”. As a coauthor I highly regard these talented young researchers and can ensure that their works included in the collection contain new ideas, outstanding fundamental results and have wide-ranging practical applications. Therefore I strongly recommend them for the prize.

Ivan P. Gavrilyuk
Dr. rer. nat. habil., Prof.
University of Cooperative Education Gera-Eisenach,
Germany

Слинько В. І., доктор фіз.-мат. наук

Цикл праць Лисенко Л. О., Романюк Н. М., Ситника Д. О. «Застосування нових операторно-функціональних підходів до побудови ефективних чисельних методів розв'язування сучасних задач природознавства» присвячений дослідженням пов’язаним з різними аспектами математичного аналізу обчислювальної математики та теорії наближень які напрямлені вирішення важливих з прикладної точки зору задач.

Так в роботах Ситника Д. О. які увійшли до циклу розглядаються нелокальні по часу задачі для еволюційних рівнянь у абстрактній постановці, що виникають при моделюванні атмосферних явищ, складних механічних систем, тощо. Для таких задач запропоновано новий метод дослідження існування розв'язку та отримано критерії існування та єдиності розв’язку, які остаточно узагальнюють серію результатів започаткованих ще в роботах Дезіна 60-х років. Запропонований метод дозволяє отримати явні ознаки існування розв’язку згаданих задач в термінах параметрів нелокальної умови і, як наслідок, побудувати многовиди допустимих наборів у просторі параметрів. Це, по перше, дає можливість одразу відповісти на питання про стійкість і з’ясувати межі керованості моделі, яка відповідає розглянутій нелокальній задачі. По друге, зв’язність отриманих многовидів прямо пов’язана з коректністю задач де використовуються методи продовження за параметром нелокальної умови. Це дає можливість застосувати отримані результати для регуляризації деяких некоректно поставлених задач (див. Василик, Макаров. Ситник; 2016). По третє, наявність вичерпної інформації про залежність розв’язку від параметрів нелокальної умови дозволяє формулювати та ефективно розв’язувати зворотні задачі знаходження коефіцієнтів диференціальних операторів по заданим параметрам нелокально! умови. Такі задачі є типовими для прикладних сфер пов’язаних з дизайном новітніх матеріалів, робототехнікою, та ін.

Додатковим аргументом на користь високого практичного потенціалу отриманих теоретичних результатів є те, що в роботах циклу також запропоновано новий високоефективний чисельний метод для згаданих нелокальних задач. Метод базується на наближенні розв’язуючого оператору за допомогою спеціально оптимізованих квадратурних формул. Це дозволяє побудувати експоненціально збіжний паралельний чисельний алгоритм наближення розв’язку, якому не властивий ефект насичення точності. Тобто, точність наближення розв’язку нелокально!' задачі автоматично зростає при підвищені гладкості вхідних даних.

Інший важливий напрямок досліджень представлений у циклі праць пов’язаний з розвитком функціонально-дискретного (FD) методу до переваг якого, в порівнянні з іншими методами гомотопії, належать існування строгої теорії збіжності та оцінок похибки. У роботах Ситника Д. О. запропоновано загальну схему FD методу для операторних рівнянь у Банаховому просторі, а також застосовано цю схему до нелінійних крайових задач на відрізку. У роботах циклу за авторством Романюк Н. М. на базі FD методу запропоновані чисельні алгоритми для декількох класів задач на власні значення, які володіють рядом унікальних характеристик: методи наближення мають експоненціальну швидкість збіжності; точність методу підвищується з збільшенням номеру власного значення; методи дозволяють розв’язувати задачі на власні значення з матричними коефіцієнтами. Для кожного зі згаданих чисельних методів розроблена теорія збіжності та отримані апріорні оцінки похибки. Велику увагу приділено питанням реалізації запропонованих методів. Проведено обчислювальні експерименти, що доводять ефективність та стійкість вибраних алгоритмічних реалізацій.

Третім напрямком досліджень, який стосується результатів Лисенко Л. О., що увійшли до циклу, є дослідження та побудова нових апроксимант типу Паде для спеціальних класів одно та багатовимірних функцій. Ці дослідження базуються на застосуванні методу узагальнених моментних зображень В. К. Дзядика до задач раціональної апроксимації. Зокрема, в явному вигляді побудовано апроксиманти типу Паде деяких гіпергеометричних рядів Аппеля, Гумберта та Лаурічелли. Досліджено властивості цих апроксимант. Також побудовано багатовимірні апроксиманти типу Паде для так званих псевдо- багатовимірних функцій.

Зважаючи на приведені вище аргументи вважаю, що представлені у циклі праць «Застосування нових операторно-функціональних підходів до побудови ефективних чисельних методів розв’язування сучасних задач природознавства» результати не поступаються світовим аналогам, а автори циклу Лисенко Л. О., Романюк Н. М., Ситник Д. О. заслуговують на присудження їм Премії Президента України для молодих вчених.

В. І. Слинько
Доктор фізико-математичних наук,
лауреат Державної премії України в галузі науки і техніки,
провідний науковий співробітник
Інституту механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України

Кучмінська Христина Йосифівна, докт. фіз.-мат. наук

У циклі робіт розробляються нові методи розв’язування задач обчислювальної математики та теорії наближення функцій. Результати досліджень можуть бути використані при вирішенні актуальних проблем сучасного природознавства та технічних наук.

Зокрема, розвинуто функціонально-дискретний метод розв'язування абстрактних нелінійних функціональних рівнянь, отримано нові умови існування та представлення розв'язку нелокальної за часом задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку в банаховому просторі з сильно-позитивним операторним коефіцієнтом та багатоточковою нелокальною умовою. Розроблено експоненціально збіжний чисельний метод без насичення точності для наближення розв'язку згаданої нелокальної задачі.

На основі поширення методу узагальнених моментних зображень В.К.Дзядика розроблено новий підхід до побудови та дослідження раціональних апроксимацій типу Паде функцій кількох змінних. Побудовано та досліджено апроксиманти типу Паде для широких класів спеціальних функцій двох та багатьох змінних, зокрема, для гіпергеометричних рядів Аппеля, Гумберта та Лаурічелли. В окремих випадках встановлено збіжність апроксимант та знайдено асимптотичні формули для їх знаменників та чисельників.

Цикл праць включає 27 публікацій у провідних фахових виданнях з математичних наук, результати доповідалися на багатьох міжнародних наукових конференціях і семінарах.
Вважаю, що цикл наукових праць Лисенко Л.О., Романюк Н.М., Ситника Д.О. «Застосування нових операторно-функціональних підходів до побудови ефективних чисельних методів розв'язування сучасних задач природознавства» безумовно заслуговує на присудження премії Президента України для молодих вчених за 2017 рік.

Х. Й. Кучмінська
доктор фізико-математичних наук,
провідний науковий співробітник
Інституту прикладних проблем механіки і математики
ім. Я. С. Підстригача НАН України.

Роман Хапко, доктор фіз.-мат. наук, професор

Цикл праць "Застосування нових операторно-функціональних підходів до побудови ефективних чисельних методів розв'язування сучасних задач природознавства" містить нові цікаві результати, пов'язані з розробкою та дослідженням експоненціально збіжних чисельних методів для різних задач з диференціальними та операторними рівняннями. Також у цих працях розроблено, обґрунтовано та досліджено властивості FD-методу для спектральних задач для оператора Шрьодінгера на скінченному інтервалі. Особливість даного методу полягає в тому, що на відміну від інших методів його точність збільшується із зростанням номера власного значення. Всі отримані наукові результати, що увійшли до циклу праць є новими та виконані на сучасному науковому рівні.

Вважаю, що автори дослідження заслуговують на присудження їм премії Президента України для молодих вчених.

Р. Хапко
доктор фізико-математичних наук, професор,
завідувач кафедри обчислювальної математики
Львівського національного університету імені Івана Франка

Хіміч Олександр Миколайович, докт. фіз.-мат. наук, проф.

В цикл робіт авторами включено нові теоретично обґрунтовані результати, які мають як важливе теоретичне значення так і практичне застосування при моделюванні, дослідженні та високоточному розв’язанні конкретних прикладних задач, які описують різноманітні динамічні процеси та зазвичай є ресурсоємними. Цінність одержаних результатів полягає у розвитку операторного підходу до ряду задач, завдяки чому авторами побудовано високоточні та швидкозбіжні наближені методи їх розв’язання.

Робота складається з десяти розділів. В розділі 1 проведено дослідження існування розв'язку нелокальної задачі Коші для лінійного абстрактного диференціального рівняння першого порядку з необмеженим операторним коефіцієнтом у банаховому просторі, а в розділі 2 побудовано експоненціально збіжний чисельний метод для задач такого виду. Розділ 3 присвячено розробці й обґрунтуванню загальної схеми функціонально-дискретного методу (FD-методу) для нелінійних операторних рівнянь, в рамках якої в розділі 4 побудовано суперекспоненціально збіжний метод для нелінійної крайової задачі на відрізку. В розділі 5 запропоновано та обґрунтовано нову схему суперекспоненціально збіжного алгоритму FD-методу для задачі на власні значення в абстрактному формулюванні для самоспряжених операторів з дискретним спектром, що діють у гільбертовому просторі, у випадку базової задачі з власними значеннями довільної кратності та здійснено узагальнення на випадок банахового простору в розділі 6. В розділі 7 досліджено властивості, побудовано та обґрунтано нові алгоритми FD-методу для задач Штурма-Лiувiлля другого порядку з рiвняннями Шрьодiнгера на скiнченному iнтервалi iз потенцiалами, якi належать до рiзних класiв гладкостi i є такими, що FD-метод точно реалiзується. Роздiл 8 присвячений дослiдженню питання зв’язку двовимiрних узагальнених моментних зображень та апроксимант типу Паде для функцiй двох змiнних. В роздiлі 9 побудовано та дослiджено апроксиманти типу Паде для частинних випадкiв гiпергеометричних рядiв Аппеля та Гумберта за допомогою методу узагальнених моментних зображень. В розділі 10 метод узагальнених моментних зображень поширено на випадок довiльної розмiрностi.

Отримані в циклі робіт результати не тільки не поступаються світовим і вітчизняним аналогам, але й мають ряд важливих переваг. Зокрема, вважаю за необхідне наголосити на наступному:

1. Для зазначеної нелокальної задачі Коші з нелінійністю у формі суми, в розділі 1 наведено необхідні та достатні умови існування розв'язку, які узагальнюють раніше відомі результати L. Byszewski (1991) та формалізують підхід розроблений в роботах А. Дезіна для самоспряжених операторів в гільбертових просторах. Запропонований підхід дозволяє не тільки однозначно відповісти на питання про зведення нелокальної задачі до еквівалентної їй класичної задачі Коші для деякої нелокальної умови, але й дозволяє апріорно описати область в просторі коефіцієнтів, що забезпечує таку еквівалентність. Такі апріорні оцінки залежать одночасно від обох спектральних параметрів операторного коефіцієнта і тому, на відміну від попередніх результатів, дозволяють показати залежність існування розв'язку та його поведінки від величини спектрального кута оператора. Це досягається за рахунок використання оригінального перетворення, що перетворює обчислювально “складну” задачу аналізу приналежності нулів цілої функції до необмеженої резольвентної множини на відносно “просту” задачу з'ясування умов приналежності нулів многочлена до круга заданого радіуса.

2. Використовуючи таке ж саме представлення розв'язку через формулу Данфорда-Коші, що й при досліджені умов існування, в розділі 2 розроблено експоненціально збіжний чисельний метод наближення розв'язку нелокальної задачі. Цей метод базується на застосуванні Sinc-квадратурної формули, яка є близькою до оптимальної по швидкості збіжності для заданого класу функцій — з областю аналітичності, яка визначається параметрами спектру та виглядом нелокальної умови. Алгоритм методу, що наведений в роботі використовує прийом з корекцією резольвенти, який дозволяє обґрунтувати коректність представлення розв'язку та отримати рівномірну на відрізку оцінку похибки. Чисельні експерименти приведені автором підтверджують експоненціальний характер на всьому часовому проміжку. Слід також зазначити, що отриманий чисельний метод допускає природне розпаралелювання обчислень на трьох незалежних рівнях, а отже, може бути ефективно реалізований з використанням сучасних паралельних гетерогенних обчислювальних систем.

3. Здійснено порівняння на модельних прикладах запропонованого в розділах 3 і 4 методу з такими відомими в літературі методами, як метод послідовних наближень та метод декомпозиції Адомяна і продемонстровано, що FD-метод має ширший радіус збіжності.

4. При наближеному розв’язанні задач на власні значення особливі труднощі виникають при наявності в них кратних або щільно згрупованих у кластери близьких власних значень. Це, наприклад, задачі Штурма-Ліувілля з рівняннями Матьє, Кофі-Еванса, Хілла, Ламе, а також з рівняннями вищих порядків та задачі з матричними коефіцієнтами. Застосування до таких задач дискретних методів (напр., методу скінченних різниць, методу скінченних елементів, методу стрільби) призводить до співпадіння відповідних наближень до власних значень, якщо вони є близькими, на певному кроці ітераційного процесу. Водночас, навіть при відсутності вказаних особливостей у розв’язуваної задачі кількість обчислюваних надійних власних значень є обмеженою кроком сітки, а із збільшенням номера власного значення стрімко погіршується точність дискретних методів. Запропонована в розділах 5 і 6 нові схеми алгоритму FD-методу дозволяють з високою точністю розв’язувати задачі з вказаними особливостями та позбавлені недоліків відомих дискретних методів, що проілюстровано на чисельних прикладах. Більше того, зі зростанням номера власного значення зростає швидкість збіжності FD-методу. Отриманi результати є узагальненням ряду робiт щодо FD-методу Макарова В. Л. та його учнiв (2000, 2005, 2009, 2010), в яких на етапi базової задачi виникають двократнi власнi значення.

5. Запропонована та обґрунтована в розділі 7 нова символьна алгоритмічна реалізація експоненціально збіжного FD-методу для спектральної задачі на відрізку з поліноміальним потенціалом є принципово новим та перспективним підходом, який містить тільки звичайні алгебраїчні операції та не потребує в ході рекурентного процесу розв'язання крайових задач і обчислення інтегралів. Такий підхід в поєднанні з системами комп’ютерної алгебри дає змогу будувати високоточні та порівняно значно ефективніші чисельні методи, які оперують математичними формулами як послідовністю символів. При цьому використання алгебраїчних виразів в їх символьному представленні та робота з цілими та раціональними числами, а не з числами у форматах з плаваючою комою, дозволяють уникати накопичення обчислювальних похибок.

Включені в цикл праць результати опубліковано в розділі монографії та у 27 статтях у провідних рецензованих наукових журналах, які реферуються та входять в міжнародні наукометричні бази даних. Загальна кількість робіт за темою циклу праць складає 45, в тому числі 17 публікацій за матеріалами тез доповідей на міжнародних конференціях.

Підсумовуючи вище викладене, вважаю, що за актуальністю розв’язаних проблем, обсягом проведених досліджень та за науковою новизною і значимістю одержаних результатів, об’єднаних в циклі праць «Застосування нових операторно-функціональних підходів до побудови ефективних чисельних методів розв'язування сучасних задач природознавства», колектив авторів Ситник Д.О., Романюк Н.М. та Лисенко Л.О. заслуговують на присудження їм премії Президента України для молодих учених у 2017 році.

О. М. Хіміч
Доктор фізико-математичних наук, професор,
член-кореспондент НАН України,
заступник директора з наукової роботи
Інституту кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України

Маринець Василь Васильович, доктор фіз.-мат. наук, професор

Збільшення кількості актуальних ресурсоємних теоретичних і прикладних задач вимагає вдосконалення і розробки високоточних та швидкозбіжних наближених методів їх розв’язання. До таких задач належать різноманітні задачі математичного моделювання динамічних процесів та фізичних явищ, які зводяться до лінійних та нелінійних операторних і диференціальних рівнянь. Це, зокрема, нелокальні, крайові та спектральні задачі, для яких в даному циклі робіт авторами запропоновано нові підходи дослідження, теоретично обґрунтовані чисельні методи розв’язування і їх ефективні алгоритмічні реалізації.

Представлена робота є цільною та поєднує результати досліджень за такими напрямками: побудова методів без насичення точності для наближення розв’язків нелокальної задачі Коші з сильно-позитивним операторним коефіцієнтом; розробка функціонально-дискретного методу для нелінійних крайових задач та задач на власні значення; застосування методу узагальнених моментних зображень В. К. Дзядика до задач раціональної апроксимації.

Серед переваг отриманих результатів над кращими вітчизняними й світовими аналогами варто виділити наступні:

– отримані умови існування та єдиності розв’язку нелокальної задачі Коші з сильно-позитивним операторним коефіцієнтом узагальнюють відомі достатні умови існування розв'язку інших авторів (Вабищевич П. (1982), Byszewski L. (1991, 1992), Jackson D. (1993), Ntouyas S. K., Tsamatos P. C. (1997));

– розроблений чисельний метод для нелокальної задачі Коші є методом без насичення точності, має експоненціальну швидкість збіжності тоді, як інші відомі чисельні методи мають алгебраїчний порядок збіжності, а також допускає ефективну паралельну програмну реалізацію;

– запропоновані нові підходи (варіанти функціонально-дискретного методу) дозволяють з високою точністю та експоненціальною швидкістю збіжності знаходити наближені розв'язки спектральних задач, в яких виникають кратні та щільно згруповані у кластери близькі власні значення. При цьому функціонально-дискретний метод позбавлений недоліків відомих дискретних методів інших авторів при застосуванні до таких задач (Dwyer H. I., Zettl A. (1995), Ledoux V., Van Daele M., Vanden Berghe G. (2007));

– незважаючи на активні дослідження протягом останніх кількох десятиріч в області багатовимірних апроксимант типу Паде (Cuyt A., Tan J., Zhou P.), досить мало побудовано саме явних конструкцій. В роботі для деяких гіпергеометричних рядів Аппеля, Гумберта та Лаурічелли побудовано та досліджено апроксиманти типу Паде в явному вигляді. Також побудовано багатовимірні апроксиманти типу Паде для так званих псевдо-багатовимірних функцій.

В роботі в достатній мірі на чисельних прикладах проілюстровано ефективність та переваги запропонованих методів та їх алгоритмів над існуючими сучасними наближеними методами інших авторів. Основні результати опубліковано у монографії та 27 статтях в рецензованих виданнях, які входять до міжнародних баз даних (SCOPUS, MathSciNet, Zentralblatt MATH, ResearchGate, ORCID, Google Scholar, Crossref). Результати, які увійшли до циклу апробовані на 17 міжнародних наукових конференціях.

Вважаю, що наукова робота «Застосування нових операторно-функціональних підходів до побудови ефективних чисельних методів розв’язування сучасних задач природознавства» виконана на сучасному науковому рівні, представлені результати не поступаються світовим аналогам, а її автори Лисенко Л. О., Романюк Н. М., Ситник Д. О. заслуговують на присудження їм Премії Президента України для молодих вчених.

В. В. Маринець
Доктор фізико-математичних наук, професор,
завідувач кафедри диференціальних рівнянь
та математичної фізики
Ужгородського національного університету

Задірака Валерій Костянтинович, докт. фіз.-мат. наук, проф.

В даній роботі колективом авторів Лисенко Л.О., Романюк Н.М., Ситник Д.О. розроблено та обґрунтовано нові схеми чисельно-аналітичних методів та побудувано апроксиманти для наближеного розв’язання ряду задач сучасного природознавства, що є значним вкладом в напрямки наукових досліджень з чисельних методів розв’язання задач математичної фізики та теорії апроксимацій. Зокрема, розглянуто задачі в класичних та абстрактних постановках, які є математичними моделями реальних прикладних проблем таких як: задачі про параметричний резонанс та квантовий рух електронів у періодичному полі кристала; «бар'єрні» задачі квантової механіки; моделювання атомних і молекулярних систем; класичний, квантовий та модифіковані гармонічні та ангармонічні осцилятори; задачі поздовжньої вібрації пружного стержня; задачі теорії пружності та теплопереносу для об'єктів зі складною геометрією чи агресивним середовищем; моделі, що описують циклічні та еволюційні процеси з імпульсним керуванням чи запізненням; задачі економічного моделювання; обернені задачі тощо.

Робота є цільною та складається з десяти розділів, які умовно можна поділити на кілька смислових блоків: 1) розробка експоненціально збіжного методу для нелокальної задач Коші для абстрактного диференціального рівняння першого порядку із сильно-позитивним операторним коефіцієнтом; 2) розробка функціонально-дискретного методу для задач в операторній постановці, зокрема, для нелінійних крайових задач та для задач на власні значення; 3) застосування функціонально-дискретного методу до спектральних задач для оператора Шрьодінгера; 4) розробка методу узагальнених моментних зображень та побудова апроксимант типу Паде. При цьому використаний авторами операторно-функціональний підхід при побудові чисельних методів дозволив об’єднати наукові праці претендентів в спільний цикл наукових праць.

Серед отриманих результатів слід виокремити наступні:

• Знайдено нові умови існування та зображення розв'язку нелокальної по часу задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку в Банаховому просторі з сильно-позитивним операторним коефіцієнтом та багатоточковою нелокальною умовою. Для наближення розв'язку даної нелокальної задачі розроблено експоненціально збіжний чисельний метод без насичення точності.

• Запропоновано загальну схему функціонально-дискретного методу розв'язування абстрактних нелінійних функціональних рівнянь, в рамках якої побудовано суперекспоненціально збіжний метод для нелінійної крайової задачі на відрізку.

• Розроблено та обґрунтовано FD-метод для спектральних задач для оператора Шрьодінгера на скінченному інтервалі. У випадку поліноміального потенціалу здійснено нову символьну алгоритмічну реалізацію FD-методу, яка містить тільки звичайні алгебраїчні операції. Метод поширено на задачі у яких потенціал, є похідною від функції обмеженої варіації.

• Обґрунтовано нову абстрактну схему алгоритму FD-методу для наближеного знаходження власних пар лінійних операторів з дискретним спектром, що допускає наявність власних значень довільної кратності. Для запропонованих пiдходів отримано достатні умови суперекспоненцiальної швидкості збiжностi.

• Поширено метод узагальнених моментних зображень В. К. Дзядика на випадок багатовимірних числових послідовностей. Встановлено теореми про побудову раціональних апроксимацій для степеневих рядів двох та більшої кількості змінних.

• Побудовано та досліджено апроксиманти типу Паде для широких класів спеціальних функцій двох та багатьох змінних, зокрема, для гіпергеометричних рядів Аппеля, Гумберта та Лаурічелли. Доведено збіжність та встановлено асимптотичні рівності для чисельників та знаменників апроксимант типу Паде рядів Гумберта.

Включені в роботу результати опубліковано протягом 2006-2015 років в монографії (2011р.) та у провідних рецензованих наукових журналах (27 статей), а загальна кількість наукових праць авторів по темі роботи складає 45. Результати роботи можуть бути використані для подальших досліджень та поширення запропонованих високоточних методів і підходів на нові класи задач, а також для їх ефективної алгоритмічної та програмної реалізації.

За сукупністю отриманих результатів, їх новизною та актуальністю, вважаю, що включені авторами результати в роботу «Застосування нових операторно-функціональних підходів до побудови ефективних чисельних методів розв'язування сучасних задач природознавства» є значимими та не поступаються світовим аналогам, а отже, Лисенко Л.О., Романюк Н.М. та Ситник Д.О. заслуговують на присудження їм премії Президента України для молодих учених у 2017 році.

В.К. Задірака
Доктор фізико-математичних наук, професор,
академік НАН України,
завідувач відділу оптимизації чисельних методів
Інституту кібернетики НАН України

Бойчук Олександр Андрійович, доктор фіз.-мат. наук, професор

До поданого циклу праць увійшли роботи, тематика яких належить до сучасних розділів обчислювальної математики та теорії наближень. Авторами розглянуто задачі в операторній постановці. Завдяки такому підходу вдалося провести найбільш повне дослідження та обґрунтування запропонованих чисельних методів і побудованих апроксимант. Так, зокрема, в даному циклі праць розглянуто такі задачі:

– нелокальні задачі Коші для лінійного абстрактного диференціального рівняння та побудова експоненціально збіжного чисельного методу для задач такого типу; розробка й обґрунтування чисельних методів для нелінійних операторних рівнянь і крайових задач;

– спектральні задачі для операторів з дискретним спектром; розробка загальної схеми суперекспоненціально збіжного функціонально-дискретного методу для задач, які можуть мати кратні власні значення як у вихідній постановці, так і в процесі їх розв’язування; застосування запропонованих підходів до конкретних диференціальних спектральних задач типу Штурма-Ліувілля;

– задачі про одно-, дво- і багатовимірні узагальнені моментні зображення та апроксимації типу Паде, зокрема, для деяких рядів Аппеля та Гумберта.
Дані задачі є актуальними математичними моделями для низки застосувань в квантовій механіці, теорії пружності, теплопереносу, гідромеханіці, гідродинамічній та в магніто-гідродинамічній теорії стійкості, теорії керування, теорії випадкових процесів, економічному моделюванні та ін.

Всі отримані наукові результати, що увійшли до циклу праць є новими та виконані на високому рівні. Представлені результати опубліковано в 1 розділі монографії та 27 статтях у провідних рецензованих вітчизняних і зарубіжних журналах протягом 2006-2015рр., з яких переважну більшість (21 стаття) опубліковано у період 2013-2015рр. Згадані видання входять до міжнародних наукометричних баз даних. Загальна кількість наукових праць авторів по темі роботи 45, в т.ч. 17 тез доповідей на міжнародних вітчизняних та зарубіжних наукових конференціях.

Підсумовуючи все вище сказане, вважаю, що представлений цикл робіт «Застосування нових операторно-функціональних підходів до побудови ефективних чисельних методів розв’язування сучасних задач природознавства» безумовно заслуговує на присудження його авторам Лисенко Л. О., Романюк Н. М. та Ситнику Д. О. щорічної премії Президента України для молодих вчених за 2017 рік.

О.А. Бойчук
Доктор фізико-математичних наук, професор,
член-кореспондент НАН України,
завідувач лабораторії
крайових задач теорії диференціальних рівнянь
відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань
Інституту математики НАН України

Тимоха Олександр Миколайович, доктор фіз.мат. наук, професор

Цикл праць Лисенко Л.О., Романюк Н.М., Ситника Д.О. має важливе теоретичне значення для розвитку декількох наукових напрямків: обчислювальної математики, математичної фізики, теорії наближень, теорії функцій, теорії операторів. Запропоновані авторами нові методи та підходи можуть бути застосовані до дослідження широкого кола конкретних математичних моделей різноманітних фізичних явищ і процесів, зокрема, в гідродинаміці, механіці, в цифровій обробці сигналів, в машинобудуванні та авіакосмічній промисловості, в квантовій фізиці, при моделюванні клімату, в електромагнітній теорії розсіювання, в астрофізиці, в експериментальній математиці та ін.

Розв’язання цих моделей може призводити, наприклад, до розв’язання жорстких систем диференціальних рівнянь, погано обумовлених систем лінійних алгебраїчних рівнянь, обчислення рекурентних формул та великих сум, складних обчислень над величезними масивами даних (див., напр., D. H. Bailey, J. M. Borwein (2005, 2010, 2013)). Такі задачі зазвичай є ресурсоємними та для коректного розв’язання вимагають використання апарату високоточних обчислень, до методів організації яких відносять символьні обчислення.

Розвиток чисельно-аналітичних методів для розв’язання задач зазначеного типу протягом останніх років пов'язаний із стрімким зростанням обчислювальних потужностей комп’ютерної техніки та з розвитком і вдосконаленням спеціалізованого програмного забезпечення для символьних обчислень. Останні лежать в основі відомих систем комп'ютерної алгебри (Maple, Matlab, Mathcad, Mathematica та ін.), які в даний час широко використовуються для наукових обчислень.

Враховуючи вище сказане, слід виокремити ряд результатів, включених в цикл праць. Для задач Штурма-Ліувілля другого порядку на відрізку з поліноміальним потенціалом і крайовими умовами Діріхле та Діріхле-Неймана отримано структурні зображення розв’язків відповідних рекурентних задач згідно з функціонально-дискретним (FD-) методом (коли дискретна складова – тотожній нуль). Завдяки цьому здійснено принципово нову символьну алгоритмічну реалізацію FD-методу, яка містить тільки звичайні алгебраїчні операції та не потребує в ході рекурентного процесу розв’язання крайових задач і обчислення інтегралів. При цьому метод є експоненціально збіжним і на кожному кроці методу не накопичуються обчислювальні похибки. Результатом виконання алгоритму можуть бути як аналітичні вирази так і числові значення для наближень до власних значень.

Застосований в циклі праць підхід є перспективним та дозволяє побудувати високоточні швидкозбіжні чисельні методи та ефективні алгоритми наближеного розв’язання задач, до яких можна застосовувати аналітичні методи та, відповідно, символьні обчислення.

Враховуючи актуальність, перспективність та наукову значимість результатів, включених до циклу праць «Застосування нових операторно-функціональних підходів до побудови ефективних чисельних методів розв'язування сучасних задач природознавства», вважаю, що його автори Лисенко Л.О., Романюк Н.М. та Ситник Д.О. заслуговують присудження їм державної премії Президента України для молодих вчених у 2017 році.

О. М. Тимоха
Доктор фізико-математичних наук, професор,
член-кореспондент НАН України,
провідний науковий співробітник
відділу математичних проблем механіки та теорії керування
Інституту математики НАН України;

Alexander N. Timokha
Dr.Habil., Prof., Cor.Member of NASU
Centre of Excellence AMOS, NTNU, Norway;
Institute of Mathematics, National Academy of Science of Ukraine (NASU)

Кротов Вениамин, доктор физ-мат наук, профессор, БГУ (Минск)

The series of papers is devoted to research in the field of modern computational mathematics and the theory of approximation of functions. The results are obtained, representing both theoretical and practical interest. The methods proposed by the authors can be used to approximate solution of many important applied problems of science and engineering. In particular, superexponential-convergent methods for non-linear boundary-value problems are developed, new methods for constructing and studying multidimensional rational approximations are proposed. The research is carried out on a modern scientific level. I consider that the series of papers "Application of new operator-functional approaches to development of effective numerical methods for solving modern problems in natural sciences" deserves the President of Ukraine Prize for young scientists.

Prof. Dr. Sergei Pereverzyev

Two articles [22], [26] associated with the presented research were published in "Computational Methods in Applied Mathematics" by De Gruyter. As a member of the editorial board of this journal, I am aware of very positive feedback received by the articles. In my opinion, such papers as [22], [26] allow the journal to reach in a short period of time a recognition of the numerical mathematics community, that is reflected in its current impact factor of 1.097. I personally have no doubts that the presented research desrves the Prize of the President of Ukraine for young scientists.

Prof. Dr. Sergei Pereverzyev

Prof. Dr. Sergei V. Pereverzyev
Johann Radon Institute
for Computational and Applied Mathematics (RICAM)
Austrian Academy of Sciences

Верлань Анатолій Федорович, доктор технічних наук, професор

Цикл праць присвячено актуальним проблемам обчислювальної математики та теорії наближення функцій. Авторами розроблено цікаві та ефективні методи, що мають значні перспективи використання при розв'язуванні прикладних задач моделювання фізичних та технологічних процесів. Робота виконана на сучасному науковому рівні і заслуговує самої високої оцінки. Вважаю, що цикл праць "Застосування нових операторно-функціональних підходів до побудови ефективних чисельних методів розв'язування сучасних задач природознавства" гідний присудження премії Президента України для молодих вчених за 2017 рік.

Боднар Дмитро, доктор фіз.мат. наук, професор

В роботі "Застосування нових операторно-функціональних підходів до побудови ефективних чисельних методів розв'язування сучасних задач природознавства" будуються та досліджуються ефективні чисельні методи розв’язування важливих прикладних математичних задач.
Зокрема, цікавим є запропоноване поширення методу узагальнених моментних зображень на випадок багатовимірних числових послідовностей та використання цього методу для побудови та дослідження багатовимірних апроксимацій типу Паде.
Вважаю, що ці дослідження за своєю актуальністю та науковим рівнем заслуговують на присудження премії Президента для молодих вчених.

Д.І. Боднар

Д.І. Боднар
Доктор фізико-математичних наук, професор,
професор кафедри економічної кібернетики та інформатики
Тернопільського національного економічного університету

Залишити новий коментар

Вміст цього поля є приватним і не буде доступний широкому загалу.
CAPTCHA
Для запобігання від спаму, щоб залишити коментар введіть будь ласка символи,які зображені нижче. Дякуємо за розуміня.